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三个半小时。
我用了两个小时做完前四道。
剩下一个半小时，全部给了第五题。
我在草稿纸上尝试了七种不同的途径。
第一种：Abel求和。失败。
第二种：构造Cesàro均值。失败。
第三种：Tauberian定理。走了一半，卡住了。
第四种：转化为积分，用渐近分析。走了一大半，在尾项估计上出了问题。
第五种：把级数看成随机变量的期望——概率化方法。有趣，但太耗时间，放弃。
第六种：把收敛性翻译成函数空间里的范数有界性。走了三步，发现本质上等价于第四种方法，放弃。
第七种——
我停下笔，闭上眼睛。
脑子里把之前六种方法的失败原因过了一遍。每种方法失败的位置不同，但有一个共同点——都卡在了尾项行为的精确估计上。
尾项。
尾项的行为取决于级数的渐近结构。
渐近结构……
我睁开眼，拿起笔。
如果我不去估计尾项，而是把整个级数分成有限段和尾部，用对有限段的精确计算来“锁定”尾部的行为呢？
具体来说——构造一个截断算子，把级数在第N项截断，证明截断后的有限和满足某个递推关系，然后利用递推结构的稳定性来控制尾部。
递推结构。
又是递推结构。
我的老朋友。
笔像是有了自己的意志，在纸上飞速推导。
截断——递推——稳定性——上界——
最后一步。